यदि फलन f(x) = begin{cases} frac{sqrt{2 + cos | vedclass

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Question

(D) फलन $f(x)$ के $x = \pi$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x 	o \pi} f(x) = f(\pi) = k$ होना चाहिए।माना $x = \pi + h$,जहाँ $x 	o \pi$ होने पर $h 	o 0$ ह

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$0.25$

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(D) फलन $f(x)$ के $x = \pi$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x 	o \pi} f(x) = f(\pi) = k$ होना चाहिए।माना $x = \pi + h$,जहाँ $x 	o \pi$ होने पर $h 	o 0$ होता है। अतः $(\pi - x)^2 = (-h)^2 = h^2$.$\lim_{h 	o 0} \frac{\sqrt{2 + \cos(\pi + h)} - 1}{h^2} = k$.चूँकि $\cos(\pi + h) = -\cos h$,इसलिए:$k = \lim_{h 	o 0} \frac{\sqrt{2 - \cos h} - 1}{h^2}$.अंश का परिमेयकरण करने पर:$k = \lim_{h 	o 0} \frac{(\sqrt{2 - \cos h} - 1)(\sqrt{2 - \cos h} + 1)}{h^2(\sqrt{2 - \cos h} + 1)} = \lim_{h 	o 0} \frac{2 - \cos h - 1}{h^2(\sqrt{2 - \cos h} + 1)}$.$k = \lim_{h 	o 0} \frac{1 - \cos h}{h^2(\sqrt{2 - \cos h} + 1)}$.सर्वसमिका $1 - \cos h = 2 \sin^2(h/2)$ का उपयोग करने पर:$k = \lim_{h 	o 0} \frac{2 \sin^2(h/2)}{h^2(\sqrt{2 - \cos h} + 1)} = \lim_{h 	o 0} \frac{2 \sin^2(h/2)}{4(h/2)^2(\sqrt{2 - \cos h} + 1)}$.चूँकि $\lim_{	heta 	o 0} \frac{\sin 	heta}{	heta} = 1$:$k = \frac{2}{4} 	imes \frac{1}{\sqrt{2 - 1} + 1} = \frac{1}{2} 	imes \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = 0.25$.

यदि फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{2 + \cos x} - 1}{(\pi - x)^2}, & x \neq \pi \\ k, & x = \pi \end{cases}$ बिंदु $x = \pi$ पर सतत है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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फलन $f$ की सांतत्यता (continuity) पर चर्चा कीजिए,जो इस प्रकार दिया गया है:
$f(x) = \begin{cases} x, & \text{यदि } x \ge 0 \\ x^2, & \text{यदि } x < 0 \end{cases}$

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